EL AZAR ENTENDIDO COMO EQUILIBRIO EQUITATIVO AL FINAL DE LA EDAD MEDIA.
Lo Aleatorio y la Administración de la Recta Justicia:
Bajo el imperio del misticismo clerical al final de la Edad Media se consideraba poco sensato pretender comprender lo aleatorio, el azar, lo impredecible, lo contingente, o los hechos fortuitos, porque se creía que éstos eran fenómenos regidos por la voluntad divina y los designios de Dios que sobrepasaban todos los límites del entendimiento humano. Sin embargo, bajo tales condiciones místicas tuvieron inicio los primeros intentos para penetrar con la luz de las matemáticas en el inescrutable mundo de la aleatoriedad, y paradójicamente tales intentos estuvieron motivados por la pretensión de aplicar los conceptos matemáticos al entendimiento y aplicación de la «justicia equitativa» que debía ser la máxima expresión del poder de Dios sobre los asuntos terrenales humanos.
En efecto, la alta jerarquía clerical a lo largo de la Edad Media no sólo consideró insensato el pretender la comprensión de lo fortuito (campo reservado para los milagros y los inescrutables designios de Dios), sino que además condenó rotundamente los juegos de azar como un vicio «riesgoso» que conducía al hombre hacia el pecado de la pereza. No obstante, desde el siglo XIII los teólogos y los primeros juristas al servicio de los reyes comenzaron a estudiar las implicaciones éticas, teológicas y legales derivadas de la existencia del «Riesgo» en varios campos de la vida social distintos al juego. En ese tiempo en torno de las más importantes ciudades europeas comenzó a florecer el comercio, el transporte de mercancías, la concurrencia de mercaderes y compradores, y toda esa dinámica económica repercutió en un mayor uso de los contratos y en un paulatino incremento de los conflictos legales surgidos por causa de la ejecución o el incumplimiento de tales contratos. Particularmente se observa que los contratos que más problemas generaban eran los que versaban sobre obligaciones cuyo cumplimiento estaba sometido a la influencia del riesgo de hechos fortuitos, como ocurría en el caso del transporte de mercancías por mar o por tierra, la contratación de seguros, el cumplimiento del pago de los préstamos, la colocación de capital por varios socios en un negocio, etc., eventos en los cuales si el contrato era incumplido por la ocurrencia de un riesgo fortuito ajeno a los participantes, en todo caso se hacía necesaria una repartición equitativa de las pérdidas y de las ganancias entre los contratantes.
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Por eso a finales de la Edad Media era común que los aldeanos y los mercaderes acudieran ante los tribunales canónicos, o ante los tribunales mercantiles, o ante los tribunales reales instalados bajo la autoridad de los monarcas (conocidos comotribunales regios) para obtener justicia, no sólo en causas criminales sino también en conflictos surgidos por el incumplimiento de contratos o relacionados con el patrimonio familiar (fijación de dotes, disolución de los matrimonios, repartición de herencias, etc.).
Los jueces que administraban justicia en esos tribunales medievales pronto concluyeron que si las matemáticas más perfectas regían toda la obra de Dios, entonces las matemáticas también debían estar presentes en los juicios y en las decisiones que ellos adoptaban como jueces. Un gran problema para lograr ese propósito era establecer la verdadera validez de las pruebas que eran presentadas ante los jueces, con base en las cuales ellos tomaban su decisión final al momento de proferir la sentencia, asunto que comenzó a ser resuelto matemáticamente cuando a las diferentes pruebas se les asignó un solo valor matemático fijo: por ejemplo, la confesión realizada por el acusado valía 100 puntos, un documento suscrito por el implicado valía 80 puntos, un testimonio rendido por una tercera persona que presenció los hechos valía 50 puntos, un testimonio rendido por alguien que no presenció los hechos sólo valía 20 puntos, etc. De este modo, si un testimonio de un tercero indicaba que un acusado era inocente (50 puntos), pero existía la propia confesión del acusado en la que él afirmaba ser el culpable (100 puntos), entonces el juez debía resolver el caso con fundamento en la prueba que más valor tenía, es decir, debía condenar al acusado con base en su confesión incriminadora.
Estos valores matemáticos fijos asignados a las diferentes pruebas que eran usadas en los estrados judiciales estaban fundamentados en rudimentarias y empíricas nociones sobre la estadística y la probabilidad, pues según la experiencia personal de los diferentes jueces era viable concluir, por ejemplo, que de cada 100 juicios en los que ocurría una confesión, al final se constataba que ésta siempre era cierta; de cada 100 juicios en los que una persona rendía testimonio sobre un hecho que presenció, se constataba al final que sólo en 50 juicios ese testimonio era cierto; de cada 100 contratos o documentos presentados ante los jueces, sólo 80 eran auténticos o no contenían falsificaciones, etc. Se puede afirmar que las primeras nociones muy vagas sobre la probabilidad, surgidas entre los siglos XIII y XV, están asociadas a la necesidad de ofrecerle a los jueces de los tribunales de justicia un «grado mayor de creencia» sobre la validez de las inciertas pruebas que son llevadas ante sus ojos y sus oídos, pruebas a través de las cuales se pretende demostrar la ocurrencia de hechos de los cuales el juez no tiene el menor conocimiento ni fue testigo presencial, es decir, la noción de probabilidad en aquel tiempo estaba asociada a la búsqueda de procedimientos matemáticos que permitieran la reducción de la «incertidumbre subjetiva» que existía en la mente del juzgador, problema que seguramente nunca afecta los juicios divinos de Dios, porque él es omnipresente y siempre tiene el pleno conocimiento de todo lo que hacen y no hacen los seres humanos, tanto en su vida pública como en su vida privada.
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La jerarquía clerical de la Edad Media veía en los fenómenos aleatorios la presencia de Dios, la cual también se manifestaba en la justicia impartida por los jueces de los tribunales. Dentro de las teorías jurídicas desarrolladas durante la Edad Media siempre se consideró que era una labor sagrada tomar decisiones justas y equitativas para solucionar un pleito ante la presencia de una serie de pruebas sobre hechos ocurridos que el juez desconoce, hechos que son inciertos para él y que son presentados o evocados de diversa forma por el demandante, por el demandado y aún por los testigos. El juez siempre tiene que resolver el pleito acosado bajo cierto «grado de incertidumbre subjetiva» sobre la veracidad de los hechos y peticiones que le son presentados, pero aún así siempre debe adoptar una decisión que sea justa y equitativa.
Al respecto vale la pena anotar que en pueblos antiguos como el de Egipto la balanza representaba la equidad de las decisiones que adoptaba el dios Anubis al momento de juzgar las almas que llegaban a su reino, juicios que siempre eran infalibles, pero ello era así porque Anubis tenía el conocimiento absoluto de lo que cada alma había realizado en su paso por el mundo terrenal, y por tanto Anubis nunca se equivocaba en sus apreciaciones y juicios porque tenía toda la información completa y verdadera a su alcance.
Del mismo modo, según el Talmud, el antiguo pueblo judío sabía que el único que no sufría de incertidumbre en sus juicios era Dios debido a su omnipresencia y omnisciencia sobre el mundo, y por tanto se consideraba que era insensato pretender que los patriarcas o los jueces judíos, simples mortales, pudieran aplicar una justicia totalmente equitativa e infalible como la de Dios, pues ellos nunca tendrían un grado de certeza absoluta sobre la verdad de los hechos, privilegio que sólo en el pasado le fue concedido por Dios al sabio rey Salomón. Por ese motivo, según el Talmud, los judíos asignaban tareas a los sacerdotes en los templos, distribuían impuestos o dirimían ciertas querellas entre individuos o tribus mediante el uso deprocedimientos aleatorios basados principalmente en la extracción de balotas numeradas colocadas en urnas. Dos aspectos sobresalen en el uso de estas urnas: por una parte, al ser un medio aleatorio, proporcionaba un procedimiento justo y equitativo entre los contendientes, sin la intervención de jueces mortales que tienen un conocimiento imperfecto sobre la verdad última del problema debatido; por otra parte, se consideraba que los resultados de tales procedimientos aleatorios develaban directamente la voluntad divina de Dios.
Durante la Edad Media los teólogos de la jerarquía clerical sabían que la administración de justicia en cierto modo es una tarea en la que las decisiones son tomadas por el juez bajo gran incertidumbre, pero no podían dejar que tales decisiones fueran exclusivamente adoptadas con base en procedimientos aleatorios como los aconsejados por el Talmud, motivo por el cual dentro del dogmatismo clerical decidieron retomar el antiguo símbolo egipcio de la balanza para representar la adopción de decisiones justas y equitativas que están basadas en el equilibrio o desequilibrio que se da cuando las pruebas presentadas tienen un valor matemático fijo asignado de antemano: si en un platillo de la balanza la confesión de culpabilidad vale 100 puntos, entonces siempre esa prueba pesará más que los testimonios de inocencia que valen 50 puntos colocados en el otro platillo de la balanza.
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La Inquisición por su parte también aplicó caprichosamente su propio sistema de valoración de las pruebas judiciales en los juicios que adelantaba contra los herejes y las brujas, aunque su sistema de valoración de las pruebas no se basó tanto en unas matemáticas que buscan el equilibrio equitativo sino en las supercherías del misticismo clerical, y ese sistema más que pretender encontrar la verdad y superar la incertidumbre subjetiva del investigador ante unos hechos que desconoce, servía realmente para reafirmar el dogmatismo clerical y generar pánico y terror entre la población sometida.
Cuando por desgracia un acusado de herejía o de brujería caía en poder de los inquisidores, entonces las principales pruebas que éstos recaudaban contra él era la posesión de utensilios usados en la práctica de rituales de magia (un simple mortero de cocina o una vasija para mezclar alimentos era suficiente prueba), o la posesión de documentos que expresaran ideas blasfemas (es decir, toda idea contraria a los dogmas de la teología y la escolástica), o pergaminos en los que el implicado hubiera realizado un pacto con el diablo, o evidencias de su participación en los clandestinos Sabbaths, o evidencias de que conocía a otras personas previamente acusadas de herejía o brujería, o tener en su cuerpo marcas o cicatrices sospechosas que puedan ser interpretadas como la «marca del diablo», o la convicción del inquisidor de que las respuestas dadas por el acusado en los interrogatorios se pueden interpretar como si él estuviera poseído por los demonios, etc.
En este sistema de juzgamiento totalmente inequitativo la tortura se impuso como el medio predilecto de investigación de los hechos, y era ampliamente recomendada en el Directorium Inquisitorum (1376) y en el Malleus Maleficarum (Martillo de las Brujas, 1484), obras que fueron los dos principales manuales usados por los inquisidores para perseguir y acusar a las brujas y los herejes. Mediante la tortura se podía obtener la confesión directa de labios del acusado, y esa era la prueba que más valía matemáticamente ante cualquier otra prueba que demostrará su inocencia (lo más común es que el torturado, con tal de evitar el terrible dolor, terminara confesando cualquiera cosa que los inquisidores quisieran escuchar de su viva voz). Por el contrario, si el torturado lograba resistir todo el suplicio sin llorar, sin quejarse, sin gritar y sin confesar su culpa, eso era interpretado como una evidencia de que Dios estaba de su parte y le protegía porque era inocente. Si la bruja amarrada de pies y manos lograba flotar en las aguas de un lago, era prueba de que Dios realizaba el milagro de salvarla debido a su inocencia, pero si se hundía y se ahogaba, era prueba de su culpabilidad. Aunque sobre este aspecto también existía la postura de doctrinantes y teólogos que opinaban lo contrario, es decir, que si el acusado sobrevivía a todas las torturas era precisamente porque el diablo le daba fuerzas para resistirlas, e incluso había quien pensaba que si un acusado se ganaba la clemencia de un inquisidor era porque éste había sido embrujado por aquél. Al final la caprichosa subjetividad y la satisfacción de la crueldad de los inquisidores era la que siempre se imponía. Creencias estúpidas son las que pueden servir de sustento a una realidad social aún mucho más estúpida.
Los Mercaderes y la Equidad en la Repartición del Riesgo y del Lucro:
Por su parte, los mercaderes, los prestamistas, los agiotistas, los cambistas o los primeros banqueros privados que paulatinamente desde el siglo XIII instalaron sus opulentos despachos en las ricas y prósperas ciudades de Génova, Florencia, Venecia, Amberes, Ámsterdam o Brujas, también comenzaron a preocuparse por el análisis matemático del problema del pago del «Justo Precio» o del «precio equitativo» en las transacciones mercantiles riesgosas, pues ellos más que nadie deseaban cobrar intereses y obtener réditos rentables sobre el dinero que prestaban a plazo o sobre el que invertían en los negocios, y no querían que ese justo lucro obtenido fuera cuestionado o anulado en los litigios que eran conocidos por los jueces de los tribunales canónicos o por los jueces de los tribunales del rey.
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Calcular el justo rendimiento que debe producir el dinero a lo largo del tiempo, calcular los rendimientos esperados que hacen rentable invertir el dinero en un negocio, calcular que el valor de las garantías o de las prendas ofrecidas por el deudor cubra efectivamente el valor que tendrá la deuda al concluir el plazo, y calcular el monto de las penalidades moratorias a cargo del contratante incumplido que se deben estipular por anticipado en un contrato, son problemas económicos y matemáticos cuya solución paulatinamente permitió el surgimiento y la consolidación de conceptos tales como el de Capital Inicial, Capital Final, Lucro Cesante, Riesgo Esperado, Rentabilidad Esperada, etc., los cuales están asociados a los orígenes y el desarrollo de la Teoría de la Probabilidad.
Precisamente, en este campo fue muy importante la labor de Leonardo Da Pisa, mejor conocido como Fibonacci(1170−1250), rico mercader que viajó por el Mediterráneo, Asia Menor y el norte de África y tuvo la oportunidad de leer y traducir muchos textos antiguos de matemáticas y de geometría procedentes de la cultura hindú, árabe, egipcia y griega, con fundamento en los cuales introdujo en Italia la numeración arábica (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) que permite agilizar el cálculo de las operaciones matemáticas dejando de lado los clásicos números romanos usados hasta entonces. Fibonacci también conoció la proporción áurea tan admirada por los antiguos pitagóricos y conoció todas las viejas teorías que hablaban de la belleza y la armonía del universo sustentadas en las relaciones numéricas. Fibonacci recuperó todo este antiguo saber matemático que desde las Cruzadas había sobrevivido en poder de pueblos no dominados por el dogmatismo teológico de la iglesia católica (especialmente entre los árabes y los bizantinos que habían preservado el saber grecorromano), y luego Fibonacci plasmó parte de ese saber en una obra titulada Liber abaci (Libro sobre el ábaco) que fue publicada en 1202, obra en la cual mostró cómo se podía aplicar ese conocimiento al cálculo de las medidas de las cosas, al cálculo de los intereses comerciales, al cálculo del valor del dinero en el cambio de monedas de diferente procedencia, etc., todo lo cual fue muy bien recibido por la emergente clase de mercaderes y negociantes.
De otro lado, las primeras compañías aseguradoras, las cuales hicieron su aparición hacia finales del siglo XIV en las ricas ciudades donde asentaron sus negocios los mercaderes de Italia y de los Países Bajos, también manifestaron un profundo interés por el estudio de los fenómenos fortuitos y la manera como afectaban el valor de los bienes o de las mercancías, lo cual con el tiempo también derivó en la Teoría del Riesgo aplicada en los asuntos económicos. Inicialmente estas compañías aseguradoras eran simples prestamistas o agiotistas que disponían de capital acumulado, y se obligaban a prestarle una determinada suma de dinero a un mercader en caso de que sus mercancías no lograran llegar por tierra a un destino específico por causa de un hecho fortuito (asaltos de forajidos, extravío en el camino, impedimentos climáticos, etc.), de tal forma que el préstamo le servía al mercader para salir del apuro en caso de ocurrir tales percances, pero luego él quedaba obligado a pagar el dinero que le habían prestado más los respectivos intereses pactados. Si no ocurría ningún percance y la mercancía felizmente llegaba a su destino, en todo caso el mercader debía pagar unos intereses justos sobre el dinero que el prestamista tuvo a su disposición y que no fue necesario desembolsar en esa ocasión. Posteriormente, a medida que se incrementó el comercio marítimo en Europa (en el Mediterráneo), este tipo de préstamo también se ofreció sobre el valor de las embarcaciones y las mercancías transportadas por mar, como ocurrió con el denominado contrato de «préstamo a la gruesa» muy usado ya hacia 1400, mediante el cual el mercader sabía que contaba con la disponibilidad de acceder a un préstamo en caso de que la embarcación con las mercancías naufragaran por causas fortuitas, dinero que le servía para salir del apuro causado por el percance, aunque luego obviamente él tenía que pagarle el préstamo al acreedor y reconocer los intereses pactados.
Estas primeras compañías aseguradoras garantizaban el pago de una parte o de la totalidad del valor de las mercancías en caso de que éstas se perdieran por ocurrir un naufragio o en caso de que la caravana fuera asaltada en el camino o en caso de que la mercancía se deteriorara durante el viaje. Para poder establecer la «prima del seguro», es decir, el precio o interés justo que se cobraba por permitirle al mercader acceder a este tipo de préstamo, estas compañías tenían que evaluar matemáticamente aspectos tales como la frecuencia de la ocurrencia de los diversos riesgos fortuitos que podían afectar el valor de las mercancías según la ruta por la que éstas eran enviadas: por ejemplo, paulatinamente se comenzó a evaluar de cada 100 barcos que viajaban por la ruta Génova−Constantinopla ¿cuántos naufragaban?, ¿cuántos eran asaltados por piratas?, ¿cuántos debían regresar sin poder completar el viaje?, ¿cuántos se extraviaban en alta mar?, ¿cuántos no llegaban a tiempo a su destino?, etc. Naturalmente, a los riesgos que eran más graves y que tenían una mayor frecuencia de ocurrencia se les asignaba el cobro de una prima más elevada a pagar por quien contrataba el seguro, y por eso hacia mediados del siglo XV la prima para envíos marítimos generalmente oscilaba entre el 15% y el 25% del valor de las mercancías aseguradas, mientras que para los envíos terrestres la prima variaba entre el 6% y el 8% del valor de las mercancías, ya que las compañías aseguradoras habían calculado que era mayor el riesgo de pérdida cuando las mercancías eran enviadas por las peligrosas aguas de los mares que cuando eran enviadas por tierra en caravanas de viajeros.
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La Teoría de la Probabilidad entre sus remotos orígenes nació asociada al problema de establecer procedimientos matemáticos para llegar a decisiones legales justas y equitativas frente a unos hechos presentados respecto de los cuales el juzgador permanece en incertidumbre sobre su veracidad. Los primeros mercaderes, agiotistas, aseguradores y banqueros también se preocuparon por la balanza de la justicia, pero lo hicieron con propósitos más pragmáticos y materiales, para construir un discurso matemático que justificara la obtención del lucro mediante el justo pago, mediante los justos réditos derivados del capital que era prestado a plazo o que era invertido en un negocio, mediante los seguros que explotaban el temor de los humanos ante los infortunios fortuitos, etc. Mientras los jueces canónicos esbozaban el uso de los rudimentos de la estadística y de la probabilidad como una herramienta para reducir el grado de incertidumbre y fortalecer la creencia sobre la veracidad de unos hechos según el valor de las pruebas presentadas en el juicio, los mercaderes esbozaron el uso de los rudimentos de la estadística y de la probabilidad como unas herramientas matemáticas para anticiparse a conocer objetivamente el comportamiento esperado de los fenómenos considerados fortuitos, conocimiento del mundo que les permitía realizar proyecciones económicas más convincentes sobre los frutos o las pérdidas que se podían esperar en un determinado negocio. Hasta nuestros días subsisten la probabilidad y la estadística usadas para reducir la incertidumbre subjetiva respecto de hechos que parecen no cuantificables, y la probabilidad y la estadística usadas para escrutar la Naturaleza y conocer el comportamiento esperado de los fenómenos considerados aleatorios.
Cuantificación de la Riqueza de los Reinos:
Del mismo modo, los gobernantes y los monarcas también comenzaron a manifestar una creciente preocupación por saber exactamente con qué recursos valiosos contaban en sus reinos, cuánta era la población disponible para la ejecución de los trabajos, cuánto alimento estaba almacenado en los silos, con cuántos hombres se disponía para armar un ejército en caso de guerra, etc., pues tal información aparentemente incierta era muy crucial para calcular el monto máximo de los recursos fiscales que podía recibir el Estado por la recaudación de impuestos, calcular la cantidad de riqueza que podía generar la población y calcular la cantidad de recursos que ésta consumía durante el año.
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Los viejos censos de personas clasificadas según su lugar de nacimiento y los inventarios de las cosechas producidas en cada temporada, que ya se realizaban en el antiguo Egipto (desde el reinado de Ramsés II) o en las colonias del Imperio Romano (espacialmente bajo el gobierno del Emperador Augusto), revivieron durante la Edad Media.
En efecto, se sabe que el duque William «El Normando» (1030−1087) al conquistar Inglaterra en 1066 y convertirse en su rey, luego de haber vencido en la Batalla de Hastings al príncipe sajón Haroldo que también reclamaba el trono, estableció el denominado Domesday Book, que era una lista estadística que contenía información muy detallada sobre la riqueza que él le confiscó a los señores sajones al ser vencidos, sobre las propiedades que poseía la Iglesia, sobre la extensión de los feudos, sobre el tamaño de los rebaños vacunos, así como un registro de la población que en aquel momento vivía en Londres clasificada por ocupación y por otras categorías. De forma similar, en Venecia entre los años 1268 y 1296 se promulgaron decretos que obligaron a los principales señores feudales a la realización de diversos inventarios sobre los productos agrícolas que comerciaban en la ciudad, registros estadísticos que eran la base para la recaudación de impuestos. En 1427 en Florencia se realizó un inventario de la riqueza de la ciudad similar al del Domesday Book de Inglaterra.
Estos primeros censos, inventarios y registros realizados durante la Edad Media, al igual que otros que posteriormente se realizaron en otros reinos de Europa, comenzaron a atraer el interés de los matemáticos que pronto crearon conceptos que más tarde contribuirían al nacimiento de la estadística como una herramienta útil para medir y cuantificar determinados fenómenos de la Naturaleza y de la sociedad.
En síntesis, hacia los siglos XV y XVI el terreno ya estaba abonado para que ciertos conceptos matemáticos de la naciente medición estadística y del cálculo de probabilidades comenzaran a ser desarrollados no sólo como unas herramientas para intentar suprimir el «grado de incertidumbre subjetiva» que afecta a los individuos ante ciertos fenómenos considerados inciertos al momento de adoptar algunas decisiones, sino como unas herramientas para comenzar a medir y cuantificar los fenómenos de la realidad considerados fortuitos o inciertos para «determinar objetivamente» sus verdaderas dimensiones y causas.
La Imagen Ideal de la Aleatoriedad al Final de la Edad Media:
Al finalizar la Edad Media las gentes no letradas (que eran la gran mayoría) tenían su propia imagen sobre la aleatoriedad, sobre los hechos fortuitos, sobre los fenómenos inexplicables de la Naturaleza que se comportaban de forma impredecible, imagen en la que se mezclaban las viejas creencias paganas de la Antigüedad con los dogmas que desde el púlpito defendían los clérigos.
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En aquel tiempo para muchas personas el azar, la aleatoriedad, lo fortuito, quedaban perfectamente representados por la circunferencia, más exactamente por la «Rueda de la Diosa Fortuna» que giraba eternamente sobre un mismo eje impulsada por la voluntad de Dios, rueda a la que estaban anclados como peleles los seres humanos, de tal forma que en un giro de la rueda algunos humanos lograban ascender al pináculo del apogeo, la gloria y la riqueza, mientras que otros humanos descendían a las profundidades de la decadencia, la desgracia y la ruina, pero al siguiente giro de la rueda la situación se invertía y quienes estaban abajo podían ascender a la gloria. Los hombres, los reyes, los tiranos, los pueblos y las civilizaciones enteras estaban sometidos a este implacable movimiento de la Rueda de la Fortuna. Existía cierta noción de justicia divina, de equidad y de equilibrio en esta concepción ideal y mística sobre la aleatoriedad, pues al fin de cuentas todos los hombres a su debido momento tendrían la oportunidad de ascender dependiendo de los giros que daba la rueda.
El pintor y grabador Alberto Durero hacia 1495 elaboró una nueva imagen de la aleatoriedad que no se basaba en la rueda sino en la esfera, al representar a la Diosa Fortuna tranquilamente posada en perfecto equilibrio sobre una esfera sólida. Solamente la Diosa Fortuna puede sostenerse y mantener el equilibrio sobre una figura geométrica tan inestable como lo es la esfera, la cual puede rodar en cualquier dirección sin estar atada a un solo eje, favoreciendo o trayendo desgracias a cualquier persona. Mientras la aleatoriedad representada por la rueda siempre es «cíclica», ya que al girar la rueda perpetuamente sobre el mismo eje repite una y otra vez la alternancia entre el auge y la decadencia, en contraste la aleatoriedad representada por la esfera no es cíclica, porque ésta puede rodar hacia cualquier dirección, puede avanzar o retroceder, puede desplazarse hacia la derecha y luego hacia la izquierda, puede girar sobre sí misma, puede seguir diferentes patrones de desplazamiento sin una orientación fija. Diversas imágenes ideales o representaciones sobre lo que es la aleatoriedad de los fenómenos del orden natural pueden conducir al ser humano a adoptar diferentes creencias y hábitos para el funcionamiento de su «inteligencia proactiva» al momento de tratar de anticiparse a los hechos por venir.
Fibonacci y el Redescubrimiento de la Aleatoriedad Áurea:
Leonardo Da Pisa, mejor conocido como Fibonacci (1170−1250), en su obra titulada Liber abaci (Libro sobre el ábaco), publicada en 1202, no sólo realizó importantes aportes para el avance de las matemáticas aplicadas a las transacciones mercantiles, sino que además estudió ampliamente los fundamentos matemáticos de la «proporción áurea» y de la «razón de oro» tan usadas en las culturas antiguas en los campos de la geometría, la arquitectura y el arte.
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Cuando se afirma que una figura geométrica es perfecta, generalmente se piensa que la misma debe ser simétrica, con lados que midan igual y que están armónicamente distribuidos respecto de un centro o un eje común. A primera vista el cuadrado y el círculo son figuras básicas que reúnen estas exigencias de perfección. Sin embargo, los estudios realizados por Fibonacci indican que la figura que más se aproxima al ideal de la perfección y de la belleza estética no es el cuadrado ni el círculo, sino un rectángulo en el cual los lados cortos y los lados largos guardan entre sí la proporción 1 a 1,618 o la proporción 0,618 a 1, es decir, el ideal de la perfección geométrica y de la belleza estética correspondería a una figura que curiosamente no tiene todos sus lados iguales (lo cual fue comprobado en el patrón de medida usado en las famosas obras de los grandes escultores y arquitectos de la Antigüedad como Policleto, Fidias, Vitruvio, etc.).
Fibonacci, muy impresionado por la perfección ideal que encuentra en la proporción áurea, analizó la numeración arábica y concluyó que existía cierta secuencia de números que reunían algunas características particulares que los aproximaba al «número de oro» resultante de la proporción áurea: Φ = 1,618033988749… A esta conclusión llegó Fibonacci al solucionar en Liber abaci un problema matemático referente a calcular el número de conejos existentes n meses después de que una primera pareja tiene 2 crías, llegando así a formular lo que se conoce como la «Sucesión Fibonacci». Para formar una Sucesión Fibonacci la secuencia de los números siempre va incorporando el resultado correspondiente a la suma de los dos números previos de la secuencia, arrancando con los números 0 y 1 en primer lugar, es decir, se forma la siguiente secuencia:
| NÚMEROS DE UNA SUCESIÓN FIBONACCI: | |
Operación sumatoria
| Sucesión Fibonacci |
…
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0
|
…
|
1
|
0 + 1 =
|
1
|
1 + 1 =
|
2
|
1 + 2 =
|
3
|
2 + 3 =
|
5
|
3 + 5 =
|
8
|
5 + 8 =
|
13
|
8 + 13 =
|
21
|
13 + 21 =
|
34
|
21 + 34 =
|
55
|
34 + 55 =
|
89
|
55 + 89 =
|
144
|
89 + 144 =
|
233
|
144 + 233 =
|
377
|
… etc.
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… ∞
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De este modo, cada número de la sucesión Fibonacci es el resultado de la sumatoria de los dos números previos de la secuencia, y a su vez cada nuevo número de la secuencia al ser sumado al número previo sirve para formar un nuevo número e incrementar la secuencia hasta el infinito: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … ∞.
Posteriormente diversos matemáticos han descubierto otras propiedades que cumplen estos números de la sucesión propuesta por Fibonacci. Así, si se toman dos números consecutivos de la sucesión y son elevados al cuadrado, sumándose luego los resultados obtenidos, siempre se obtiene un guarismo que corresponde a algún número que también forma parte de la sucesión: por ejemplo, si se toman los cuadrados de 5 y 8 se obtiene: 52 + 82 = 25+64 = 89, valor final que corresponde a un número de la sucesión; y si se toman los cuadrados de 13 y 21 se obtiene: 132 + 212 = 169+441 = 610, que también corresponde a un número de la sucesión. Pero además, si dos números consecutivos de la sucesión son divididos entre sí, el mayor entre el menor, siempre se obtienen resultados que gradualmente se van aproximando al número de oro: 1/1 = 1 ; 2/1 = 2 ; 3/2 = 1,5 ; 5/3 = 1,666 ; 8/5 = 1,6 ; 13/8 = 1,625 ; 21/13 = 1,6153 ; 34/21 = 1,6190 ; 55/34 = 1,6176 ; 89/55 = 1,61818, etc.
No resulta extraño que estas propiedades matemáticas, y otras más descubiertas hacia el Renacimiento, hicieran pensar a muchos que se trata de una sucesión numérica «mágica» asociada a la divina Proporción de Oro establecida en la Naturaleza por Dios. Quizá los fenómenos regulares y los aleatorios pueden estar regidos por este tipo de proporción tan especial.
FUENTES DE CONSULTA:
- CARTER, Paul. Geometry in Art & Archytecture, en: http://www.dartmouth.edu/~
matc/math5.geometry/unit9/ unit9.html - EVES, Howard. An introduction to the history of mathematics. Ed. Brooks Cole, 1990
- KOYRE, Alexandre. Estudio de historia del pensamiento científico. Editorial Siglo XXI, Ciudad de México, 1978.
- TIGAR, Michael y LEVY, Madeleine. El derecho y el ascenso del capitalismo. Siglo XXI, México, 1981.
- VEGA-AMAYA, Oscar. Surgimiento de la teoría matemática de la probabilidad. En: Apuntes de historia de las matemáticas, Vol. 1, 2002.
- WIKIPEDIA. Consulta de los términos: Accounting; Balance; Equity; Evidence; Fibonacci; Fibonacci Numbers; Inquisition; Insurance; Justice; Prueba Diabólica; Risk.
